メニュー最大公約数を求める方法と聞かれてあなたは何と答えますか？ユークリッドの互除法を知らないあなたも、まずは実際にどんな解き方をするのか見てみましょう。このようにどうしてユークリッドの互除法で最大公約数が求まるのでしょうか。ということを証明します。ということがわかりました。さて、ユークリッドの互除法は最大公約数を求める方法である、ということが感覚的にも理屈的にもわかっていただけたんじゃないかなと思います。この問題を解くのにユークリッドの互除法は一見結びつかないかもしれません。このように互除法の計算式をそれぞれあまりについて整理してみます。（右側の式）これは与えられた式にx=3,y=-4を代入した式ですね。今回のように、入試ではCopyright © Studyplus, Inc. 2016 m は正の整数とする。 2つの整数 a, b について、a-b が m の倍数であるとき、a と b は m を法として合同であると言い、 \begin{equation*} \quad a \equiv b \pmod m \end{equation*} という式で表す。 関連記事.
2x+4y=1 という不定方程式を満たす整数 (x,y) は存在するでしょうか？(x,y) が整数のとき，2x+4y は偶数なので，2x+4y=1 になることはありません。よって，この不定方程式に整数解は存在しません。3x+5y=2 という不定方程式を満たす整数 (x,y) は存在するでしょうか？実は，m を整数として，(x,y)=(4+5m,−2−3m) とすると，(x,y) は解になります。このように，ax+by=c という不定方程式は，整数解を持たない場合と，無数の整数解を持つ場合があります。 ユークリッドの「互除法」とは「割り切れるまであまりで互いに割り（除法）続ける」という意味なんですね。 ユークリッドの互除法の証明. 互除法. 「ユークリッドの互除法」の原理がわからない？本記事ではユークリッドの互除法の原理から互除法の活用2選（最大公約数・一次不定方程式）、さらにユークリッドの互除法の裏ワザや長方形との関係までわかりやすく解説します。本記事を読んで、互除法マスターになろう！ どうしてユークリッドの互除法で最大公約数が求まるのでしょうか。 直感的に理解するのはなかなか難しい計算方法なので、正確に証明してみます。 � éO}7-2@\Ê£ã¡ñÍÚG^ÌICJ[hðp¢ÄéB}7-3@IC`bv£ã(\)}7-4@IC`bv£ã( )}7-5@IC`bv\ÊE ÊÌ£ã ユークリッドの互除法（ごじょほう）とは，大きな数字たちの最大公約数を素早く計算する方法です。この記事では，ユークリッドの互除法では，以下の例えば，ユークリッドの互除法を使って $390$ と $273$ の最大公約数を計算してみましょう。まず，$390$ を $273$ で割ると，商が $1$ で余りが $117$ です：よって，次に，$273$ を $117$ で割ります：よって，次に，$117$ を $39$ で割ります：割り切れました！ つまり「$117$ と $39$ の最大公約数」は $39$ です。以上により「$390$ と $273$ の最大公約数」が $39$ であることが分かりました。このように，以下では，$a$ と $b$ の最大公約数のことを $\mathrm{gcd}(a,b)$ と表します。「最大公約数」は画数が多くて書きたくないからです。難しい記号ではありません。ユークリッドの互除法で用いた，を証明します。$a$ を $b$ で割った商を $q$，余りを $r$ とおくと，・ $a,b$ がともに $m$ の倍数→ $r=a-bq$ も $m$ の倍数。・ $b,r$ がともに $m$ の倍数→ $a=bq+r$ も $m$ の倍数。以上2つの不等式より，$\mathrm{gcd}(a, b)=\mathrm{gcd}(b,r)$割り算を繰り返し行うと，余りの定義より $b > r$ なので数字はどんどん小さくなっていきます。そして，最後は必ず余りが $0$ になって停止します。そのときの割った数が，求めたい最大公約数になっています。素因数分解を利用して最大公約数を求めることもできますが，大きな数字の素因数分解よりも割り算の方が圧倒的に楽（計算量が少ない）なので応用現場ではユークリッドの互除法が用いられています。 $318691696$ と $4729749$ を素因数分解するのは相当な気合いが必要になるが割り算なら簡単にできそう。ただし，実際の入試問題でこんなに大きな整数はほとんど登場しないので，最大公約数を求めるだけだったら素因数分解を用いる方法で十分です。大学入試においては，ユークリッドの互除法は最大公約数を求める問題よりも，一次不定方程式 $ax+by=1$ に関する問題で活躍します。一次不定方程式 $ax+by=1$ の整数解 $(x,y)$ を求める問題を考えます。$8x+11y=1$ を満たす整数 $(x,y)$ を求める。よって，ポイントは，ユークリッドの互除法の式を用いて，ユークリッドの互除法：スポンサーリンクスポンサーリンク© 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. ユークリッドの互除法を利用すると、二つの整数a、b それぞれの素因数分解を知らなくても、それらの最大公約数 gcd(a, b) を容易に求めることができる。 2.1. ユークリッドの互除法では，以下の重要な性質を使って最大公約数の計算を行います。例えば，ユークリッドの互除法を使って 390 と 273 の最大公約数を計算してみましょう。まず，390 を 273 で割ると，商が 1 で余りが 117 です：390=273⋅1+117よって，重要な性質より「390 と 273 の最大公約数」＝「273 と 117 の最大公約数」次に，273 を 117 で割ります：273=117⋅2+39よって，重要な性質より「273 と 117 の最大公約数」＝「117 と 39 の最大公約数」次に，117 を 39 で割ります：117=39⋅3+0割り … ・「一次不定方程式の一般解を求めるときに必要な、”特殊解を互除法で探す方法”を解説していきます。・これまでの不定方程式は、以下にまとめています。→「→「目次(タップした所へ飛びます)冒頭でも紹介した「不定方程式」ですが、簡単に復習すると、（未知数の数が式の数より多いため）解がひとつに定まらない（＝不定）方程式のことを言います。詳しくは第1回・第2回をご覧ください。そして、今回学ぶ”一次不定方程式”は、3x+5y=1,(x,yは整数）のような式の(x,y)の値を求めるものです。実際に、3x+5y=1・・・（※） の整数解を探してみると、(-3,2)や(2,-1)など無数に解の組みが見つかります。当然、解を無数に書くことはできないので、適当な文字を使って『一般解』を表します。ex：x=5n-3、y=-3n+2 (ただし、nは整数）←これが一般解と呼ばれるものです。試しにn=0,1・・・と代入してみると(-3,2),(2,-1)をはじめ、すべての（※）の解が表せることを確認できます。では、このように大変便利な『一般解』はどのようにして求めるのか、『3x+5y=1』を例題として、STEP by STEPで解説していきます。一般解に対して”特殊解”と呼ばれるものがあります。これは、(２,-1)のように『3x+5y=1』を満たすもののうちの特定の一つの解の事をいいます。一次不定方程式では、まずこの”特殊解”を見つけることが最初にして最大の問題です。さて、無数にある解の中からどれか一つでも特殊解を見つけたら、問題の（※）の式の下に特殊解を代入した式（※※)を書きます。3・x+5・y＝1・・・（※）3・2+5・(-1)=1・・・（※※)ここで右辺を0にするために、連立した（※)ー（※※)を行います。引き算して整理すると、3(x-2)+5(y+1)=0となります。この式を移項して、5(y+1)=-3(x-2)・・・(★)ここで5と3は互いに素、かつ(左辺)=(右辺)なので、(x-2)は5の倍数であるはずです。・・・(★★)同じく、(y+1)も(-3)の倍数です。・・・（★★★)ここまで来ると、あとは数式に変換するだけで答えが作れます。（★★）より、n(nは整数)を使って(x-2)＝5n。⇔x＝5n＋2（★★★)より、(y+1)=-3n⇔y＝ー3nー1よって、x,yの一般解は、(x= 5n +2、y=-3n-1)・・・（答）ここまでは、特殊解が簡単に求まるような場合でした。しかし、例えば『313x+79y=1』のようにx,yの係数が非常に大きい場合はどうでしょう。一つ一つ数を代入して実験していくことで、いずれは特殊解を見つけることはできるでしょうが、時間がかかる上に、ミスをしたら一発でアウトです。このように、特殊解を見つけるのが困難なときには、”カンタンな問題をどのようにして解いてきたか”を振り返ってみます。・特殊解の発見→式の連立→互いに素の利用という流れで解いてきました。313x+79y=1の場合も同じように解くことになります。ところで、「互いに素」という言葉は「最大公約数が1」と同義でした。さらに、「大きな数」、そして「最大公約数」とくれば『ユークリッドの互除法』が浮かびます！(浮かばない、、という人は→「では、一次不定方程式にどのようにしてユークリッドの互除法を応用するのか、先ほど挙げた『313x+79y=1』を使って、実際に問題形式で解説します。ユークリッドの互除法で最大公約数を探すときに用いた手順を使って、どんどん計算を進めていきます。313÷79=3...7679÷76=1...376÷3=25...1・・・（☆）商が１になったところで計算を止めます。ここで、（☆）の割る数”3”と余りの”１”の最大公約数は”１”であることから、313と79の最大公約数も”１”、すなわち互いに素であることがわかりました。次に、今我々は313×○＋79×△＝１となる特殊解を探していたので、（☆）の式を１＝のカタチに変形します。1=76-25×3以下同様に、割り算を繰り返した式をすべて(余り)＝ のカタチにします。3=79-76×176=313-79×3まだ何をしているのかわからないと思いますが、もう少しでこの操作の意味がわかります。1=76-25×3 の3に、 3=79-76×1を代入します。1=76ー25×(79-76×1)⇔1=76×26-79×25さらに、この"76"に76＝313-79×3を代入1=(313-79×3)×26ー79×25⇔1=313×26ー79×103⇔313×26＋79×(-103)・・・（☆☆）ここで、☆☆の式をみると、はじめに探していた313×○＋79×△＝１の形になっています！すなわち、『ユークリッドの互除法を使い→余り１＝の形にどんどん変形した式を代入→目的の式へ』という操作をすることで、”○=26”,”△=-103 ”という”特殊解”を見つける作業をしていたのです。かなり面倒でしたが、特殊解（の１組）が見つかってしまえば、残りのすることは同じです。313・x＋79・y＝１313・26+79・(-103)=1連立して上の式ー下の式を行うと、313(x-26)+79(y+103)=0 ここで、313と-79は互いに素だったので、n(nは整数）を用いて、(x-26)=-79n ,313n=(y+103)よって、x＝-79n+26、y=313n-103 が一般解（答）・一次不定方程式の問題で、係数部分が大きい場合や、中々特殊解が見つからない場合は『ユークリッドの互除法』の利用を考える。・一般解は無数にあるので、○n+△（nは整数）の形で解答するこのタイプは計算量が多く、慣れがないとミスをしやすいので類題を問題集などで探してどんどん解いていきましょう。１：「２：「１：「その他の整数問題の解放解説記事は以下でまとめています。「 最後までご覧いただきまして、ありがとうございました。いいね！やB!、シェア、Twitterのフォローをしていただけると助かります！その他のお問い合わせ・ご依頼などに付きましては、お問い合わせページよりお願い致します。Twitterでフォローしようスマホで学ぶサイト、 スマナビング！ All Rights Reserved.
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