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/Type/ExtGState サイト内検索を行います。スポンサーリンク スポンサーリンク 数学と情報が得意な大学生です。数学科目と情報科目をわかりやすく説明するブログを作っています!引用をストックしました引用するにはまずログインしてください引用をストックできませんでした。再度お試しください限定公開記事のため引用できません。
stream こんにちは、ももやまです。 つぎの①〜⑤の中から一筆書きできるものを2つ選んでみましょう。引用元:(解答は2の例題2の解説に書いています。) 今回は (一筆書きの判定法は2章にまとめています。) また、グラフ理論で習うオイラーグラフ・ハミルトングラフとはどんなグラフか、どうやったら判定ができるかについてもまとめています。 前回のグラフ理論の記事(第9羽)はこちら!(グラフ理論における基本用語のまとめです。) あるグラフにおいて一筆書き(すべての辺を1度だけ通るようなたどり方)ができてかつ書き始めの点と書き終わりの点が同じ回路(経路のこと)のことをまた、オイラー回路を持つようなグラフ、つまり まずは実際にオイラーグラフかどうかを地道にたどりながら確認していきましょう。次の①~③の中から、オイラーグラフとなるものを選びなさい。 経路をたどってみましょう。すると、①と③は一筆書きができてかつ始点に戻ってこれるので一筆書きの経路(オイラー回路)を持ちますね。しかし、②は一筆書きはできるのですがどうがんばっても始点に戻ることができません。なのでオイラー回路とはいえませんね。 オイラーグラフの判定は簡単に行うことができます。先程例題で出した3つのグラフの次数(つながっている辺の数)を確認してみましょう。オイラーグラフである①と③の頂点の次数は全部偶数となっていますね。実はこれは偶然ではなく、オイラーグラフの条件となっているのです。 つまり、あるグラフがオイラーグラフ(一筆書きして元に戻ってこれるようなグラフ)であるための条件は、 [簡単な理由(証明ほどではない)]始点(終点)の点とそれ以外の点に場合分けを考えます。 始点以外の点は、必ず点を通過する前に次数が+1、通過後に次数が+1されるので点を通過するたびに次数は+2されますね。なのでまた、始点に関してもスタート次に+1、ゴール次に+1され合計+2されるのでよって、すべての頂点の次数が偶数であれば必ずオイラーグラフとなるのです! グラフ 有向グラフの場合もやっておきましょう。例えば、下のようなグラフは一筆書きできてかつ始点に戻ることができますね。(経路は省略します…)有向グラフの場合、 有向グラフの場合もオイラーグラフであるかどうかは次数を確認することで判定ができます。しかし、有向グラフの次数は入次数と出次数の2つにわかれていましたね。 ここで少し復習しておきましょう。ある点に入ってくる辺の数を表す入次数、出次数などグラフ理論の基本用語についてはこちらにまとめているので今までに出た基本用語の中でわからないようなものがあればこちらで確認しましょう。 無向グラフと同じように始点(終点)の点とそれ以外の点に場合分けを考えます。 始点以外の点は、点を通過する前に入次数+1、通貨した後に出次数+1されますね。また、始点の場合、スタート次に出次数+1、ゴール次に入次数+1されます。なのでオイラーグラフの場合、入次数と出次数は常に同じになりますね。これが有向グラフの場合のオイラーグラフの条件となります。 有向グラフ いよいよ本題です。半オイラーグラフは つまり、一筆書きができるグラフは始点に戻れる「オイラーグラフ」と一筆書きができない「半オイラーグラフ」の2つにわかれます。 「半オイラーグラフ」の場合もオイラーグラフのときと同様に 始点以外の点は、オイラーグラフと同じく、点を通過する前に次数が+1、通過後に次数が+1され、合計+2されるので次数は必ず偶数となります。しかし、始点と終点はそれぞれ異なるので始点で次数が+1、始点ではない終点で次数が+1されるので つまり、 グラフ (一筆書きの始点は必ずどちらかの奇点に、終点は始点ではない奇点となる) あるグラフが一筆書きできるための条件をまとめると下のようになります。 あるグラフが一筆書きできるかどうかを判定するときは、それぞれのグラフの次数が奇数の点(奇点)を数えればよい。奇点が0個 → 一筆書きができ、かつ始点に戻ってくることができる奇点が2個 → 一筆書きができ、かつ始点に戻ってくることができない では、最初に出したあの一筆書き問題を解説していきましょう。 次の①~⑤の中から、一筆書きできるグラフを2つ見つけ、番号で答えなさい。また、その2つが「オイラーグラフ」・「半オイラーグラフ」のどちらであるかを答えなさい。まずは、それぞれの交点の次数を書いてみましょうすると、②と④の奇点は2つとなりますね。なので②と④は一筆書きができることがわかります。(オレンジ色の線は一筆書きのたどり方を表します。) (すべての点を1度だけ通って元に戻れるようなたどり方のことを 例題1で用意した3つのグラフを例に説明しましょう。 この3つのグラフは、下のようにたどることでそれぞれの点を1度だけたどることができますね。なので3つともハミルトングラフとなります! 1つハミルトングラフかどうかを確認する問題を出しましょう。例題2のグラフ①~⑤の中で、ハミルトングラフとなるものは何個ありますか。 ⑤以外は下のようにたどるとすべての点を1度ずつたどることができるのでハミルトングラフとなります。オイラーグラフの場合は次数に注目することで簡単にオイラーグラフかどうかを判定することができましたね。 しかし、あるグラフがハミルトングラフかどうかを確実に判定する方法はもちろんハミルトングラフかどうかを確実にかつ短時間で判定するようなアルゴリズムも現在は存在しません しかし、確実にハミルトングラフと断言できるための条件は2つあります。 ディラックの定理は、つまり、3つ以上の点があるグラフの点の数 この定理を少し言い換えて、あるグラフの最小次数 (あるグラフの 例えば、下の2つのグラフはディラックの定理が成立するので必ずハミルトングラフであると言うことができます。 数式で表すと、最小次数 (ディラックの定理を満たさなくてもハミルトングラフとなるグラフはあるので注意) ディラックの定理の条件を少しゆるくしたのがオーレの定理です。 オーレの定理は、つまり、頂点数が 実際に定理を適用する際には 例えば、下のグラフは最小次数は2(2倍すると4)に対し、頂点数は5となってしまうのでディラックの定理は使えません。しかしオーレの定理を使うと、隣接していない2点の次数の和の最小は5に対し、頂点数も5となるのでハミルトングラフであることを示すことができます。 ちなみに (理由)ディラックの定理を満たすということは、どのグラフも頂点数の半分以上の次数を持っているので、どの2点の次数の和も必ず頂点数以上となる。よって隣接していない2点の次数の和も当然頂点数以上になるのでオーレの定理も必ず満たす。 では2問ほど練習してみましょう。つぎの(1), (2)の条件を満たすようなグラフを1つ書きなさい。(1) オイラーグラフであるがハミルトングラフではないグラフ(※できれば例題や練習2で使っていないグラフを書きましょう。)次の(1)〜(3)の条件を満たすグラフを①〜⑤の中から番号ですべて選びなさい。(1) 一筆書きで書けるグラフ (1) 次数3の点が4つあるのでオイラーグラフではない解答(1) ①・③・④ 下にオイラーグラフ・半オイラーグラフ・ハミルトングラフの場合のたどり方(オイラー回路、ハミルトン閉路)を示しています。 今回は一筆書きが可能かの判定方法、およびグラフ理論におけるオイラーグラフ・ハミルトングラフについて解説をしました。 これで一筆書きができるかどうかの判定をゴリ押しせずにすることができますね。 次回はグラフ理論における木構造について解説していきたいとおもいます。NP完全問題について知りたいよって人はこちらの記事をご覧ください。とチェックすればOKです。 16 0 obj
/ColorSpace/DeviceRGB 一方,奇点が4 個あるとき,そのうちの2 個を仮の辺で結ぶと,奇点が2 個 になる.このグラフは一筆書きができる.途中で仮の辺を通るので,もとの グラフは2 筆書きできる. 奇点が2n 個の連結なグラフは,何個仮の辺をつけると,一筆書きできるよ << 15 0 obj /���f�}��_ _w�u�����.�}�G��d��aZWr�ʕ_��ט�x뭷8_�������Ѡ�k��FL��k�~�>
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問題を数学化すると、右の図が「一筆書きできればよい。」 という問題になります。 ところが、この図形は奇点が4個の図形ですから、一筆 書きは不可能です。(一筆書きできる図形の奇点の数は0または2) すなわち、この橋渡りは不可能です。
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